ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์จะพบว่าการใช้ถ้อยคำ ถือเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องเลือกใช้อย่างชัดเจนและรัดกุม ถ้าจะกำหนดคำใหม่ขึ้นมาก็จะต้องมีการ นิยาม กล่าวคือบอกความหมายได้ชัดเจน นอกจากนี้ยังอาจต้องกำหนดคำบางคำให้เป็นคำที่ไม่นิยาม เมื่อเห็นว่านิยามไปแล้วก็ไม่เกิดประโยชน์ เช่น ถ้านิยามว่า "จุดเป็นสิ่งที่ไม่มีขนาด" นิยามดังกล่าวเป็นนิยามที่ไม่ได้ให้ความหมายอย่างแท้จริง เพราะไม่รู้ว่าขนาดคืออะไร ถ้าจะอธิบายว่า ขนาด คือสิ่งที่บอกให้รู้ว่าใหญ่หรือเล็ก จะต้องมีคำถามอีกว่า ใหญ่คืออะไร และเล็กคืออะไร ในที่สุดอาจจะต้องอธิบายว่า ใหญ่คือไม่เล็ก และเล็กคือไม่ใหญ่ ซึ่งจะทำให้เกิดการวกวนและไม่ก่อให้เกิดความเข้าใจใดๆ เกี่ยวกับจุดเลย

ด้วยเหตุนี้จึงมีคำบางคำที่จะไม่นิยาม คำที่ไม่นิยาม เรียกว่า คำอนิยาม โดยเมื่อตกลงให้คำบางคำเป็นคำอนิยามแล้วเราจะนิยามคำอื่น ๆ ได้โดยอาศัยคำอนิยาม ซึ่งเรียกว่า บทนิยาม สิ่งสำคัญอีกอย่างหนึ่งในคณิตศาสตร์ คือ สัจพจน์ เป็นข้อความที่สมมุติหรือตกลงกันว่าเป็นจริง

จาก คำอนิยาม บทนิยาม และสัจพจน์ สามารถสร้าง ทฤษฎีบท โดยอาศัยตรรกศาสตร์เรียกสิ่งซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทว่า โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ ดังนั้นในการศึกษาและสร้างสรรค์คณิตศาสตร์จึงต้องอาศัยความรู้ในวิชาตรรกศาสตร์เป็นพื้นฐาน

ในบทนี้ จะแนะนำเกี่ยวกับเรื่องตรรกศาสตร์เบื้องต้น ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญที่จะช่วยในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ให้ได้ผลดียิ่งขึ้น